Problems 09-14
9 (a) Computing
$$
\mathbf{Ax}
=
\begin{bmatrix}
\phantom{-}1 & 2 & 4 \\
-1 & 3 & 1 \\
-4 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}
=
\mathbf{b}
$$
by dot products of the rows with the column vector
$$
\phantom{.} \
\mathbf{Ax}
=
\begin{bmatrix}
(\phantom{-}1,2,4) \cdot \mathbf{x} \\
( -2,3,1) \cdot \mathbf{x} \\
( -4,1,2) \cdot \mathbf{x} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(\phantom{-}1 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (4 \cdot 3) \\
( -2 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (1 \cdot 3) \\
( -4 \cdot 2) + (1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
18 \\ 5 \\ 0
\end{bmatrix}
=
\mathbf{b}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
& &
\mathbf{Ax}
& \phantom{=} \\[1em] & = &
\begin{bmatrix}
(\phantom{-}1,2,4) \cdot \mathbf{x} \\
( -2,3,1) \cdot \mathbf{x} \\
( -4,1,2) \cdot \mathbf{x} \\
\end{bmatrix}
\\[1em] & = &
\begin{bmatrix}
(\phantom{-}1 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (4 \cdot 3) \\
( -2 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (1 \cdot 3) \\
( -4 \cdot 2) + (1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) \\
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] & = &
\begin{bmatrix}
18 \\ 5 \\ 0
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] & = &
\phantom{.} \ \mathbf{b} \ .
\end{array}
$$
(b) Similarily
$$
\phantom{.} \
\mathbf{Ax}
=
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\
(1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\
(0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) \\
(0 \cdot 2) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 2)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\ 4 \\ 4 \\ 3
\end{bmatrix}
=
\mathbf{b}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
&
\mathbf{Ax}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
(2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\
(1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\
(0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) \\
(0 \cdot 2) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 2)
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
3 \\ 4 \\ 4 \\ 3
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \ \mathbf{b} \ .
\end{array}
$$
10
Computing the $\mathbf{Ax}$ of 9 as a
compination of column means that
$$
\phantom{.} \
\mathbf{Ax}
=
2 \begin{bmatrix}
\phantom{-}1 \\ -2 \\ -4
\end{bmatrix}
+
2 \begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}
+
3 \begin{bmatrix}
4 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\phantom{-} 2 \\ -4 \\ -8
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4 \\ 6 \\ 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
12 \\ 3 \\ 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
18 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
&
\mathbf{Ax}
\phantom{=} \\[0.5em] = &
2 \begin{bmatrix}
\phantom{-}1 \\ -2 \\ -4
\end{bmatrix}
+
2 \begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}
+
3 \begin{bmatrix}
4 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
\phantom{-} 2 \\ -4 \\ -8
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4 \\ 6 \\ 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
12 \\ 3 \\ 6
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
18 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
No matter what method one uses to multiply matrices, the nuber of
multiplications is the same. However, the computation of as a combination
of column can be taken to be clearer notationally.
11
(a)
By rows:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\ 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(2 \cdot 4) + (3 \cdot 2) \\
(5 \cdot 4) + (1 \cdot 2) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 + 6 \\
20 + 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 \\
22
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
\phantom{=} &
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\ 2
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
(2 \cdot 4) + (3 \cdot 2) \\
(5 \cdot 4) + (1 \cdot 2) \\
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
8 + 6 \\
20 + 2
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
14 \\
22
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
By column:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\ 2
\end{bmatrix}
=
4 \begin{bmatrix}
2 \\ 5
\end{bmatrix}
+
2 \begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 + 6 \\
20 + 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 \\
22
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
\begin{array}{r c l}
\phantom{=} &
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\ 2
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
4 \begin{bmatrix}
2 \\ 5
\end{bmatrix}
+
2 \begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
8 + 6 \\
20 + 2
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
14 \\
22
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
\end{array}
$$
(b)
By rows:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
6 & 12
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phantom{-}2 \\
-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(3 \cdot 2) + [6 \cdot (-1)] \\
(6 \cdot 2) + [12 \cdot (-1)]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 - 6 \\
12 - 12
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
&
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
6 & 12
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phantom{-}2 \\
-1
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
(3 \cdot 2) + [6 \cdot (-1)] \\
(6 \cdot 2) + [12 \cdot (-1)]
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
6 - 6 \\
12 - 12
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
By column:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
6 & 12
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phantom{-}2 \\
-1
\end{bmatrix}
=
2 \begin{bmatrix}
3 \\ 6
\end{bmatrix}
-
1 \begin{bmatrix}
6 \\ 12
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 - 6 \\
12 - 12
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
\phantom{=} &
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
6 & 12
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phantom{-}2 \\
-1
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
2 \begin{bmatrix}
3 \\ 6
\end{bmatrix}
-
1 \begin{bmatrix}
6 \\ 12
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
6 - 6 \\
12 - 12
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
(c)
By rows:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3) + (2 \cdot 1) + (4 \cdot 1) \\
(2 \cdot 3) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 + 2 + 4 \\
6 + 0 + 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
9 \\ 7
\end{bmatrix}
\ .
$$
asdasd
$$
\begin{array}{c c c}
&
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3) + (2 \cdot 1) + (4 \cdot 1) \\
(2 \cdot 3) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
3 + 2 + 4 \\
6 + 0 + 1
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
9 \\ 7
\end{bmatrix}
\end{array}
$$
By column:
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}
=
3 \begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\ 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4 \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 + 2 + 4 \\
6 + 0 + 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
9 \\ 7
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
\phantom{=} &
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
3 \begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\ 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4 \\ 1
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
3 + 2 + 4 \\
6 + 0 + 1
\end{bmatrix}
\phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
9 \\ 7
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
12
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
=
x \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z \\ y \\ x
\end{bmatrix}
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
&
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
\\[1em] = &
x \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
& \phantom{=} \\[1em] = &
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
z \\ y \\ x
\end{bmatrix}
\ .
\end{array}
$$
13
(a) A matrix with $m$ rows and $n$ columns multiplies a vector with $m$
components to produce a vector with $n$ components. As an example, let $n =
3$ and $n = 2$, then
$$
\phantom{.} \
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
=
x \begin{bmatrix}
a_{11} \\ a_{21}
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
a_{12} \\ a_{22}
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
a_{13} \\ a_{23}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
xa_{11} + ya_{12} + za_{13} \\
xa_{21} + ya_{22} + za_{23}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{bmatrix}
\ ,
$$
$$
\begin{array}{c c c}
&
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
& \\[1em] = &
x \begin{bmatrix}
a_{11} \\ a_{21}
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
a_{12} \\ a_{22}
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
a_{13} \\ a_{23}
\end{bmatrix}
& \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
xa_{11} + ya_{12} + za_{13} \\
xa_{21} + ya_{22} + za_{23}
\end{bmatrix}
& \\[1em] = &
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{bmatrix} \ ,
\end{array}
$$
from where it can be seen that $\mathbf{b}$ has $n = 6$ components.
(b)
The planes from the $m$ equations $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ are in $m - 1$
dimensional space. The combination of the columns of $\mathbf{A}$ is in
$m$-dimensional space.
14
One way to write the equation
$$
2x + 2y + z + 5t = 8
$$
in a matrix form is to gather the coefficients into a matrix $\textbf{A}$
and the variables into vector and then multiply the variable vector with
the coefficient matrix. In other words,
$$
\phantom{,} \
\mathbf{Ax}
=
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 1 & 8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ t
\end{bmatrix}
=
x \begin{bmatrix}
2
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
2
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}
+
t \begin{bmatrix}
8
\end{bmatrix}
=
2x + 2y + z + 5t
= 8
\ .
$$
$$
\begin{array}{c c c}
& \mathbf{Ax} &
\\[1em] = &
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 1 & 8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ t
\end{bmatrix}
& \\[1em] = &
x \begin{bmatrix}
2
\end{bmatrix}
+
y \begin{bmatrix}
2
\end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}
+
t \begin{bmatrix}
5
\end{bmatrix}
& \\[1em] = &
2x + 2y + z + 5t
& \\[0.5em] = &
8
& \\[0.5em] = &
\phantom{.} \ \mathbf{b} \ .
\end{array}
$$
The multiplying matrix $\mathbf{A}$ then has $1$ row.